特殊算の世界

大人が学ぶ!旅人算!

どうも。zakkiです。

今回は「旅人算」について学び直そうと思います。

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旅人算

旅人算(たびびとざん)とは、算数において、速さを題材とする文章題の類型のひとつ。動くものが2つあるとき、2つのものの隔たりの推移に関する問題をいう。2つの物の進行方向により、出会い算追いつき算に分けられる。通常は、速さを単純にたし引きして解ける。中学受験問題としてきわめて出題率が高い類型である。

Wikipediaより引用:旅人算

いつもながら説明を読んでいてもピンときませんね。簡単な問題を見てみましょう。

問題①

太郎君の自宅と花子さんの自宅は1km離れています。太郎君が自宅を分速60mで、花子さんが自宅を分速40mでお互いの家に向けて同時に出発した場合、太郎くんと花子さんが出会うのは何分後でしょう?

上記の様な問題ですね。見たことあるなって人も多いと思います。旅人算は大きく分けると「出会い算」と「追いつき算」に分けられることが多いです。

問題①は出会い算の典型的な問題ですね。

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出会い算

出会い算とは、2つの物や人が異なる地点からお互いに向けて出発したとき、何分後に出会うか?というのが基本のパターンです。

ポイントは2つの物や人の速度の和と距離を元に考える点ですね。

問題①

太郎君の自宅と花子さんの自宅は1km離れています。太郎君が自宅を分速60mで、花子さんが自宅を分速40mでお互いの家に向けて同時に出発した場合、太郎くんと花子さんが出会うのは何分後でしょう?

太郎君が自宅を花子さんのお家に向けて分速60mで、花子さんは自宅を太郎君のお家に向けて分速40mで出発してます。この時二人が出会うのは何分後かと問う問題ですね。図にしてみます↓

考え方

出会い算の答えを出すには、太郎くんと花子さんの速度の和から考えるのが基本です。

太郎君は分速60m、花子さんは分速40mで向かい合って出発するので、1分毎に100mずつ近づくことになります。

太郎君は1分毎に花子さん側に向けて60m

花子さんは1分毎に太郎君側に向けて40m

なので、1分毎にお互いの距離は100mずつ近づいていく事がわかりますね!

あとは、二人が出会うために必要な距離が分かれば答えは出ます。

問題①では、太郎君と花子さんの家は1km離れた場所にあるとされているので「距離÷速度の和」に当てはめていきます。

1kmはメートルに換算すると1000mなので「1000(1km)÷100(速度の和)=10」ということで太郎君と花子さんが出会うのは10分後だと求めることが出来ました!

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追いつき算

追いつき算とは、同じ方向へ向けて先に出発した物や人を追い掛けたとき何分後に追いつくかというのが基本パターンになる問題です。

ポイントは2つの物や人の速度の差と距離を元に考える点ですね。

問題

花子さんは学校から分速40mで公園へ向かいました。その5分後に太郎君が分速60mで学校から公園へ向かいました。太郎君は学校を出発して何分後に花子さんに追いつくでしょう。

花子さんが出発した5分後に太郎君が出発しています。太郎君の速度の方が花子さんよりも早いので、いつかは追いつく事になりますが、それはいつなのかという問題ですね。図にしてみます↓

花子さんは太郎君よりも5分早く出発しています。花子さんの速度は分速40mなので、太郎君が出発する頃には200m(分速40m×5分)先にいる事になりますね。

そして、太郎君は花子さんよりも分速20m早い(太郎くん分速60m、花子さん分速40m)ので、1分毎に20mずつ距離が縮まることになります。

なので、太郎君が出発する時点での二人の距離200mを1分毎に縮まる距離で割ると答えを求めることができます。

当てはめてみると「200(m)÷20(m)=10(分)」となり、10分後に太郎君が花子さんに追いつくことが分かります。

少しひねった問題

旅人算は、出会い算と追いつき算が基本パターンではありますが、少しひねった問題も沢山あります。

問題

太郎くんと花子さんが学校から600m離れた公園へ向かいました。太郎君は分速60mで、花子さんは分速40mで向かいましたが、太郎君は公園に着いてすぐに学校へ引き返しました。花子さんはまだ公園へ向かっている途中です。学校に引き返した太郎君と、公園へ向かっている花子さんがすれ違うのは何分後でしょう。

二人が同じ目的地へ違う速度で向かい、先に目的地に着いた方が折り返すパターンですね。最初は進行方向が同じなので、追いつき算と錯覚してしまい速度の差を意識してしまいますが、この問題は速度の差ではなく、速度の和で解くべき問題です。図にしてみます↓

図にしてみると、太郎君と花子さんがすれ違うのに必要な距離は、学校から公園までの距離の倍(往復分)だとわかります。

なので、学校から公園までの距離×2を太郎君と花子さんの速度の和で割れば答えが求められます。

「1200(学校から公園までの距離×2)÷100(二人の速度の和)=12(分)」

太郎君が学校を出発して公園で折り返し、花子さんとすれ違うまでの時間を求めることが出来ました。

少しめんどくさい解き方をしてみる

図にしてみます↓

太郎君が公園につくのは、出発から10分後(公園までの距離÷太郎君の速度)なので、太郎君が公園についた時点で花子さんは学校から400m離れた地点にいます(花子さんの速度×時間)。

なので、太郎君が公園についたとき、太郎くんと花子さんは200m離れた距離にいるわけですね。

そこから太郎君は引き返して、花子さんのいる方向へ向けて歩き出すので、太郎君から花子さんまでの距離200mを、太郎君と花子さんの速度の和で割った数が太郎君が公園から引き換えした時から花子さんとすれ違うまでの時間になります。

「200(太郎君から花子さんまでの距離)÷100(太郎くんと花子さんの速度の和)=2」となります。これは太郎君が公園から引き換えした時から花子さんとすれ違うまでの時間なので、そこに太郎君が公園につくまでの時間を足すと、答えが求められます。

太郎君の速度は分速60m、学校から公園までの距離は600mなので、太郎君が学校から公園に着くまでの時間は10分。公園で引き返して花子さんとすれ違うまでの時間が2分なので、足して12分です。

太郎君が学校を出て、公園で引き返し花子さんとすれ違うまでの時間は12分と求めることが出来ました!

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